В работе рассмотрены факторы, обуславливающие погрешность двусторонних и интервальных методов решения ОДУ. Приводятся примеры, иллюстрирующие экспоненциальный характер роста погрешности рассматриваемых методов. Проводится сравнение с традиционными вещественными методами. Интервальный метод для решения жестких систем ОДУ, устойчивый на всей числовой оси.
Предложены двусторонние методы с апостериорной оценкой погрешности, имеющие существенно улучшенные вычислительные качества для случая больших промежутков интегрирования. В данной статье описывается интервальный метод численного интегрирования начальных задач, эффективный для практически важного класса жестких систем ОДУ и обладающий сходимостью и устойчивостью на бесконечном интервале. Без ограничения общности рассматривается задача Коши для автономной нелинейной системы ОДУ. Значения начальных условий заданы с погрешностью. Предполагается, что решение начальной задачи существует, единственно и принадлежит классу С1. Для построения вычислительного метода используется интеграл Дюамеля. Использование этой формулы приводит к вычислительным методам двух типов: многошаговый интервальный метод на основе решения интегрального уравнения Вольтерра, Доказана сходимость и асимптотическая устойчивость численного метода относительно возмущений в начальных условиях. Другой интервальный метод, получающийся на основании уравнения Дюамеля является одношаговым конечно-разностным методом, в котором интервальная оценка решения на каждом шаге вычисляется рекуррентным образом по значениям соответствующей оценки на предыдущем шаге. При равной точности методы обладают рядом преимуществ и недостатков. Первый метод алгоритмически прост, однако затраты времени при его использовании растут пропорционально квадрату числа шагов интегрирования. Второй метод характеризуется на порядок меньшими суммарными вычислительными затратами, линейно зависящими от числа шагов интегрирования как у обычных (т.е. вещественных) методов интегрирования ОДУ. Однако в общем случае для обеспечения сходимости и устойчивости второго метода на бесконечном интервале интегрирования требуется специальная замена переменных, что несколько усложняет алгоритм вычислений. Второй метод является интервальным обобщением и развитием т.н. полуаналитического метода, применявшегося для расчета электрических цепей в случае, когда постоянные времени различных частей цепи существенно различаются. Несмотря на дополнительные сложности, связанные с расчетом экспоненциальной матрицы, данный метод обеспечивает при практических расчетах многократный выигрыш по времени.
